Selesaikan {c}{4x+2y=8}{16x-y=14}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 8 } \\ { 16 x - y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=8$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-2y+8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+8\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2y+8.

$$x=-\frac{1}{2}y+2$$

Gantikan -\frac{y}{2}+2 dengan x dalam persamaan lain, 16x-y=14.

$$16\left(-\frac{1}{2}y+2\right)-y=14$$

Darabkan 16 kali -\frac{y}{2}+2.

$$-8y+32-y=14$$

Tambahkan -8y pada -y.

$$-9y+32=14$$

Tolak 32 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+2$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 2.

$$x=-1+2$$

Tambahkan 2 pada -1.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2\times 16}&-\frac{2}{4\left(-1\right)-2\times 16}\\-\frac{16}{4\left(-1\right)-2\times 16}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}&\frac{1}{18}\\\frac{4}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{36}\times 8+\frac{1}{18}\times 14\\\frac{4}{9}\times 8-\frac{1}{9}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+2y=8,16x-y=14$$

Untuk menjadikan 4x dan 16x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 16 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$16\times 4x+16\times 2y=16\times 8,4\times 16x+4\left(-1\right)y=4\times 14$$

Permudahkan.

$$64x+32y=128,64x-4y=56$$

Tolak 64x-4y=56 daripada 64x+32y=128 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$64x-64x+32y+4y=128-56$$

Tambahkan 64x pada -64x. Seubtan 64x dan -64x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$32y+4y=128-56$$

Tambahkan 32y pada 4y.

$$36y=128-56$$

Tambahkan 128 pada -56.

$$36y=72$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 16x-y=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$16x-2=14$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$16x=16$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 16.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=2$$