Selesaikan {c}{4x+2y=50}{x+y=20}

$$\left. \begin{array} { c } { 4 x + 2 y = 50 } \\ { x + y = 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+2y=50$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-2y+50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+50\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -2y+50.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}$$

Gantikan \frac{-y+25}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+y=20.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}+y=20$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}=20$$

Tolak \frac{25}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}y=\frac{15}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x=-\frac{1}{2}y+\frac{25}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{25}{2}$$

Darabkan -\frac{1}{2} kali 15.

$$x=\frac{-15+25}{2}$$

Tambahkan \frac{25}{2} pada -\frac{15}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 50-20\\-\frac{1}{2}\times 50+2\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+2y=50,x+y=20$$

Untuk menjadikan 4x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$4x+2y=50,4x+4y=4\times 20$$

Permudahkan.

$$4x+2y=50,4x+4y=80$$

Tolak 4x+4y=80 daripada 4x+2y=50 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4x-4x+2y-4y=50-80$$

Tambahkan 4x pada -4x. Seubtan 4x dan -4x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-4y=50-80$$

Tambahkan 2y pada -4y.

$$-2y=50-80$$

Tambahkan 50 pada -80.

$$-2y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x+y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+15=20$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=15$$