Selesaikan {c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131}

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3.9x+y=359.7$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3.9x=-y+359.7$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 3.9 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

Darabkan \frac{10}{39} kali -y+359.7.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

Gantikan -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} dengan x dalam persamaan lain, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

Darabkan -1.8 kali -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

Tambahkan \frac{6y}{13} pada -y.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

Tambahkan \frac{10791}{65} pada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{7}{13} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Gantikan -\frac{2276}{35} dengan y dalam x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

Darabkan -\frac{10}{39} dengan -\frac{2276}{35} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

Tambahkan \frac{1199}{13} pada \frac{4552}{273} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

Untuk menjadikan \frac{39x}{10} dan -\frac{9x}{5} sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -1.8 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.9.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

Permudahkan.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

Tolak -7.02x-3.9y=-510.9 daripada -7.02x-1.8y=-647.46 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Tambahkan -\frac{351x}{50} pada \frac{351x}{50}. Seubtan -\frac{351x}{50} dan \frac{351x}{50} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

Tambahkan -\frac{9y}{5} pada \frac{39y}{10}.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

Tambahkan -647.46 pada 510.9 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$2.1y=-136.56$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.1 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

Gantikan -\frac{2276}{35} dengan y dalam -1.8x-y=-131. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

Tolak \frac{2276}{35} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -1.8 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{2287}{21}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$