Selesaikan {c}{3x-3y=-2^2}{(4-2)x-y=2(2)}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x - 3 y = - 2 ^ { 2 } } \\ { ( 4 - 2 ) x - y = 2 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x-3y=-4$$

Tambahkan 3y pada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=3y-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-4\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali 3y-4.

$$x=y-\frac{4}{3}$$

Gantikan y-\frac{4}{3} dengan x dalam persamaan lain, 2x-y=4.

$$2\left(y-\frac{4}{3}\right)-y=4$$

Darabkan 2 kali y-\frac{4}{3}.

$$2y-\frac{8}{3}-y=4$$

Tambahkan 2y pada -y.

$$y-\frac{8}{3}=4$$

Tambahkan \frac{8}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{20}{3}$$

Gantikan \frac{20}{3} dengan y dalam x=y-\frac{4}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{20-4}{3}$$

Tambahkan -\frac{4}{3} pada \frac{20}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&1\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+4\\-\frac{2}{3}\left(-4\right)+4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

Untuk menjadikan 3x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

Permudahkan.

$$6x-6y=-8,6x-3y=12$$

Tolak 6x-3y=12 daripada 6x-6y=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x-6y+3y=-8-12$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+3y=-8-12$$

Tambahkan -6y pada 3y.

$$-3y=-8-12$$

Tambahkan -8 pada -12.

$$-3y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=\frac{20}{3}$$

Gantikan \frac{20}{3} dengan y dalam 2x-y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-\frac{20}{3}=4$$

Tambahkan \frac{20}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=\frac{32}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{16}{3}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$