Selesaikan {c}{3x+y=60}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 60 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=30$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=60$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+60\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+60.

$$x=-\frac{1}{3}y+20$$

Gantikan -\frac{y}{3}+20 dengan x dalam persamaan lain, x+y=40.

$$-\frac{1}{3}y+20+y=40$$

Tambahkan -\frac{y}{3} pada y.

$$\frac{2}{3}y+20=40$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}y=20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=30$$

Gantikan 30 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 30+20$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 30.

$$x=-10+20$$

Tambahkan 20 pada -10.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=30$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 60-\frac{1}{2}\times 40\\-\frac{1}{2}\times 60+\frac{3}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=30$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=60,x+y=40$$

Tolak x+y=40 daripada 3x+y=60 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-x+y-y=60-40$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-x=60-40$$

Tambahkan 3x pada -x.

$$2x=60-40$$

Tambahkan 60 pada -40.

$$2x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=10$$

Gantikan 10 dengan x dalam x+y=40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$10+y=40$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=30$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=30$$