Selesaikan {c}{3x+y=5}{-2x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 5 } \\ { - 2 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y = \frac{31}{8} = 3\frac{7}{8} = 3.875$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-y+5}{3} dengan x dalam persamaan lain, -2x+2y=7.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)+2y=7$$

Darabkan -2 kali \frac{-y+5}{3}.

$$\frac{2}{3}y-\frac{10}{3}+2y=7$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada 2y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=7$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{8}{3}y=\frac{31}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{8}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{31}{8}$$

Gantikan \frac{31}{8} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{31}{8}+\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{31}{8} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{31}{24}+\frac{5}{3}$$

Tambahkan \frac{5}{3} pada -\frac{31}{24} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{3}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{8}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{31}{8}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=5,-2x+2y=7$$

Untuk menjadikan 3x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3x-2y=-2\times 5,3\left(-2\right)x+3\times 2y=3\times 7$$

Permudahkan.

$$-6x-2y=-10,-6x+6y=21$$

Tolak -6x+6y=21 daripada -6x-2y=-10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-2y-6y=-10-21$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y-6y=-10-21$$

Tambahkan -2y pada -6y.

$$-8y=-10-21$$

Tambahkan -10 pada -21.

$$-8y=-31$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$y=\frac{31}{8}$$

Gantikan \frac{31}{8} dengan y dalam -2x+2y=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+2\times \frac{31}{8}=7$$

Darabkan 2 kali \frac{31}{8}.

$$-2x+\frac{31}{4}=7$$

Tolak \frac{31}{4} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-\frac{3}{4}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=\frac{3}{8}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{31}{8}$$