Selesaikan {c}{3x+y=2}{x-y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = 2 } \\ { x - y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=2$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y+2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y+2.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-y+2}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-y=-3.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}-y=-3$$

Tambahkan -\frac{y}{3} pada -y.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{2}{3}=-3$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{11}{4}$$

Gantikan \frac{11}{4} dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{11}{4}+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} dengan \frac{11}{4} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{11}{12}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada -\frac{11}{12} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{3\left(-1\right)-1}&\frac{3}{3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{3}{4}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{11}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=2,x-y=-3$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+y=2,3x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$3x+y=2,3x-3y=-9$$

Tolak 3x-3y=-9 daripada 3x+y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+y+3y=2+9$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+3y=2+9$$

Tambahkan y pada 3y.

$$4y=2+9$$

Tambahkan 2 pada 9.

$$4y=11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=\frac{11}{4}$$

Gantikan \frac{11}{4} dengan y dalam x-y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-\frac{11}{4}=-3$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{11}{4}$$