Selesaikan {c}{3x+y=-13}{x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y = - 13 } \\ { x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-5$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y=-13,x+y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y=-13$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y-13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-13\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y-13.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{-y-13}{3} dengan x dalam persamaan lain, x+y=-3.

$$-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}+y=-3$$

Tambahkan -\frac{y}{3} pada y.

$$\frac{2}{3}y-\frac{13}{3}=-3$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{2}{3}y=\frac{4}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{2}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y-\frac{13}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 2-\frac{13}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 2.

$$x=\frac{-2-13}{3}$$

Tambahkan -\frac{13}{3} pada -\frac{2}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y=-13,x+y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-1}&-\frac{1}{3-1}\\-\frac{1}{3-1}&\frac{3}{3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-13\right)-\frac{1}{2}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-13\right)+\frac{3}{2}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-5,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y=-13,x+y=-3$$

Tolak x+y=-3 daripada 3x+y=-13 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-x+y-y=-13+3$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3x-x=-13+3$$

Tambahkan 3x pada -x.

$$2x=-13+3$$

Tambahkan -13 pada 3.

$$2x=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=-5$$

Gantikan -5 dengan x dalam x+y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-5+y=-3$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-5,y=2$$