Selesaikan {c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-6$$

$$y=13$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+y+5=0$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x+y=-5$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-y-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -y-5.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

Gantikan \frac{-y-5}{3} dengan x dalam persamaan lain, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

Darabkan -2 kali \frac{-y-5}{3}.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

Tambahkan \frac{2y}{3} pada -y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada 1.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

Tolak \frac{13}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali 13.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

Tambahkan -\frac{5}{3} pada -\frac{13}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=13$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-6,y=13$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

Untuk menjadikan 3x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

Permudahkan.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

Tolak -6x-3y+3=0 daripada -6x-2y-10=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

Tambahkan -6x pada 6x. Seubtan -6x dan 6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2y+3y-10-3=0$$

Tambahkan -2y pada 3y.

$$y-10-3=0$$

Tambahkan -10 pada -3.

$$y-13=0$$

Tambahkan 13 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=13$$

Gantikan 13 dengan y dalam -2x-y+1=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x-13+1=0$$

Tambahkan -13 pada 1.

$$-2x-12=0$$

Tambahkan 12 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=13$$