Selesaikan {c}{3x+4y=12}{x+6y=-16}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 12 } \\ { x + 6 y = - 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{68}{7} = 9\frac{5}{7} \approx 9.714285714$$

$$y = -\frac{30}{7} = -4\frac{2}{7} \approx -4.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=12$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+12\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+12.

$$x=-\frac{4}{3}y+4$$

Gantikan -\frac{4y}{3}+4 dengan x dalam persamaan lain, x+6y=-16.

$$-\frac{4}{3}y+4+6y=-16$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada 6y.

$$\frac{14}{3}y+4=-16$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{14}{3}y=-20$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{14}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Gantikan -\frac{30}{7} dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{4}{3}\left(-\frac{30}{7}\right)+4$$

Darabkan -\frac{4}{3} dengan -\frac{30}{7} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{40}{7}+4$$

Tambahkan 4 pada \frac{40}{7}.

$$x=\frac{68}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{3\times 6-4}&-\frac{4}{3\times 6-4}\\-\frac{1}{3\times 6-4}&\frac{3}{3\times 6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 12-\frac{2}{7}\left(-16\right)\\-\frac{1}{14}\times 12+\frac{3}{14}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{68}{7}\\-\frac{30}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=12,x+6y=-16$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+4y=12,3x+3\times 6y=3\left(-16\right)$$

Permudahkan.

$$3x+4y=12,3x+18y=-48$$

Tolak 3x+18y=-48 daripada 3x+4y=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+4y-18y=12+48$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y-18y=12+48$$

Tambahkan 4y pada -18y.

$$-14y=12+48$$

Tambahkan 12 pada 48.

$$-14y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$y=-\frac{30}{7}$$

Gantikan -\frac{30}{7} dengan y dalam x+6y=-16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+6\left(-\frac{30}{7}\right)=-16$$

Darabkan 6 kali -\frac{30}{7}.

$$x-\frac{180}{7}=-16$$

Tambahkan \frac{180}{7} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{68}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{68}{7},y=-\frac{30}{7}$$