Selesaikan {c}{3x+4y=10}{x=2y}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 4 y = 10 } \\ { x = 2 y } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+4y=10$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-4y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -4y+10.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}$$

Gantikan \frac{-4y+10}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=0.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}-2y=0$$

Tambahkan -\frac{4y}{3} pada -2y.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{10}{3}=0$$

Tolak \frac{10}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{10}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{4}{3}y+\frac{10}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-4+10}{3}$$

Tambahkan \frac{10}{3} pada -\frac{4}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-4}&-\frac{4}{3\left(-2\right)-4}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-4}&\frac{3}{3\left(-2\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 10\\\frac{1}{10}\times 10\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2y daripada kedua-dua belah.

$$x-2y=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+4y=10,x-2y=0$$

Untuk menjadikan 3x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$3x+4y=10,3x+3\left(-2\right)y=0$$

Permudahkan.

$$3x+4y=10,3x-6y=0$$

Tolak 3x-6y=0 daripada 3x+4y=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3x-3x+4y+6y=10$$

Tambahkan 3x pada -3x. Seubtan 3x dan -3x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4y+6y=10$$

Tambahkan 4y pada 6y.

$$10y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x-2y=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2=0$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=1$$