Selesaikan {c}{3x+2y=32}{365x+226y=35.92}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 35.92 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = -\frac{44751}{325} = -137\frac{226}{325} \approx -137.695384615$$

$$y = \frac{144653}{650} = 222\frac{353}{650} \approx 222.543076923$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+2y=32$$

Tolak 2y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-2y+32$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -2y+32.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

Gantikan \frac{-2y+32}{3} dengan x dalam persamaan lain, 365x+226y=35.92.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=35.92$$

Darabkan 365 kali \frac{-2y+32}{3}.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=35.92$$

Tambahkan -\frac{730y}{3} pada 226y.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=35.92$$

Tolak \frac{11680}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{289306}{75}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{52}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{144653}{650}$$

Gantikan \frac{144653}{650} dengan y dalam x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{144653}{650}+\frac{32}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} dengan \frac{144653}{650} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{144653}{975}+\frac{32}{3}$$

Tambahkan \frac{32}{3} pada -\frac{144653}{975} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\35.92\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 35.92\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 35.92\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{44751}{325}\\\frac{144653}{650}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+2y=32,365x+226y=35.92$$

Untuk menjadikan 3x dan 365x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 365 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 35.92$$

Permudahkan.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=107.76$$

Tolak 1095x+678y=107.76 daripada 1095x+730y=11680 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-107.76$$

Tambahkan 1095x pada -1095x. Seubtan 1095x dan -1095x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$730y-678y=11680-107.76$$

Tambahkan 730y pada -678y.

$$52y=11680-107.76$$

Tambahkan 11680 pada -107.76.

$$52y=11572.24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 52.

$$y=\frac{144653}{650}$$

Gantikan \frac{144653}{650} dengan y dalam 365x+226y=35.92. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$365x+226\times \frac{144653}{650}=35.92$$

Darabkan 226 kali \frac{144653}{650}.

$$365x+\frac{16345789}{325}=35.92$$

Tolak \frac{16345789}{325} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$365x=-\frac{3266823}{65}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 365.

$$x=-\frac{44751}{325}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-\frac{44751}{325},y=\frac{144653}{650}$$