Selesaikan {c}{2.7x+3.1y=42.5}{x+y=15}

$$\left. \begin{array} { c } { 2.7 x + 3.1 y = 42.5 } \\ { x + y = 15 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=10$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2.7x+3.1y=42.5$$

Tolak \frac{31y}{10} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2.7x=-3.1y+42.5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 2.7 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=\frac{10}{27}\left(-3.1y+42.5\right)$$

Darabkan \frac{10}{27} kali -\frac{31y}{10}+42.5.

$$x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}$$

Gantikan \frac{-31y+425}{27} dengan x dalam persamaan lain, x+y=15.

$$-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}+y=15$$

Tambahkan -\frac{31y}{27} pada y.

$$-\frac{4}{27}y+\frac{425}{27}=15$$

Tolak \frac{425}{27} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{4}{27}y=-\frac{20}{27}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{4}{27} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x=-\frac{31}{27}y+\frac{425}{27}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{31}{27}\times 5+\frac{425}{27}$$

Darabkan -\frac{31}{27} kali 5.

$$x=\frac{-155+425}{27}$$

Tambahkan \frac{425}{27} pada -\frac{155}{27} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2.7&3.1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2.7-3.1}&-\frac{3.1}{2.7-3.1}\\-\frac{1}{2.7-3.1}&\frac{2.7}{2.7-3.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5&7.75\\2.5&-6.75\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}42.5\\15\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2.5\times 42.5+7.75\times 15\\2.5\times 42.5-6.75\times 15\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=10,y=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2.7x+3.1y=42.5,x+y=15$$

Untuk menjadikan \frac{27x}{10} dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.7.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=2.7\times 15$$

Permudahkan.

$$2.7x+3.1y=42.5,2.7x+2.7y=40.5$$

Tolak 2.7x+2.7y=40.5 daripada 2.7x+3.1y=42.5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2.7x-2.7x+3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Tambahkan \frac{27x}{10} pada -\frac{27x}{10}. Seubtan \frac{27x}{10} dan -\frac{27x}{10} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3.1y-2.7y=\frac{85-81}{2}$$

Tambahkan \frac{31y}{10} pada -\frac{27y}{10}.

$$0.4y=\frac{85-81}{2}$$

Tambahkan 42.5 pada -40.5 dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$0.4y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan 0.4 yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=5$$

Gantikan 5 dengan y dalam x+y=15. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+5=15$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=10,y=5$$