Selesaikan {c}{2x-y=-3}{4x-3y=3}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x - y = - 3 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-6$$

$$y=-9$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=-3$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y-3.

$$x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{-3+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, 4x-3y=3.

$$4\left(\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}\right)-3y=3$$

Darabkan 4 kali \frac{-3+y}{2}.

$$2y-6-3y=3$$

Tambahkan 2y pada -3y.

$$-y-6=3$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=9$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{3}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -9.

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

Tambahkan -\frac{3}{2} pada -\frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-9$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}\times 3\\2\left(-3\right)-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-9\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-6,y=-9$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=-3,4x-3y=3$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-3\right),2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 3$$

Permudahkan.

$$8x-4y=-12,8x-6y=6$$

Tolak 8x-6y=6 daripada 8x-4y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x-4y+6y=-12-6$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4y+6y=-12-6$$

Tambahkan -4y pada 6y.

$$2y=-12-6$$

Tambahkan -12 pada -6.

$$2y=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=-9$$

Gantikan -9 dengan y dalam 4x-3y=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x-3\left(-9\right)=3$$

Darabkan -3 kali -9.

$$4x+27=3$$

Tolak 27 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-6,y=-9$$