Selesaikan {c}{2x+9y=-7}{6x-3y=9}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 9 y = - 7 } \\ { 6 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+9y=-7$$

Tolak 9y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-9y-7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y-7\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -9y-7.

$$x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{-9y-7}{2} dengan x dalam persamaan lain, 6x-3y=9.

$$6\left(-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}\right)-3y=9$$

Darabkan 6 kali \frac{-9y-7}{2}.

$$-27y-21-3y=9$$

Tambahkan -27y pada -3y.

$$-30y-21=9$$

Tambahkan 21 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-30y=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -30.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam x=-\frac{9}{2}y-\frac{7}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{9}{2}\left(-1\right)-\frac{7}{2}$$

Darabkan -\frac{9}{2} kali -1.

$$x=\frac{9-7}{2}$$

Tambahkan -\frac{7}{2} pada \frac{9}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-9\times 6}&-\frac{9}{2\left(-3\right)-9\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-9\times 6}&\frac{2}{2\left(-3\right)-9\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-7\right)+\frac{3}{20}\times 9\\\frac{1}{10}\left(-7\right)-\frac{1}{30}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+9y=-7,6x-3y=9$$

Untuk menjadikan 2x dan 6x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$6\times 2x+6\times 9y=6\left(-7\right),2\times 6x+2\left(-3\right)y=2\times 9$$

Permudahkan.

$$12x+54y=-42,12x-6y=18$$

Tolak 12x-6y=18 daripada 12x+54y=-42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$12x-12x+54y+6y=-42-18$$

Tambahkan 12x pada -12x. Seubtan 12x dan -12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$54y+6y=-42-18$$

Tambahkan 54y pada 6y.

$$60y=-42-18$$

Tambahkan -42 pada -18.

$$60y=-60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 60.

$$y=-1$$

Gantikan -1 dengan y dalam 6x-3y=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$6x-3\left(-1\right)=9$$

Darabkan -3 kali -1.

$$6x+3=9$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-1$$