Selesaikan {c}{2x+7y=77}{x-2y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 7 y = 77 } \\ { x - 2 y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{168}{11} = 15\frac{3}{11} \approx 15.272727273$$

$$y = \frac{73}{11} = 6\frac{7}{11} \approx 6.636363636$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+7y=77$$

Tolak 7y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-7y+77$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+77\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -7y+77.

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}$$

Gantikan \frac{-7y+77}{2} dengan x dalam persamaan lain, x-2y=2.

$$-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}-2y=2$$

Tambahkan -\frac{7y}{2} pada -2y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{77}{2}=2$$

Tolak \frac{77}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{11}{2}y=-\frac{73}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{11}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=\frac{73}{11}$$

Gantikan \frac{73}{11} dengan y dalam x=-\frac{7}{2}y+\frac{77}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{2}\times \frac{73}{11}+\frac{77}{2}$$

Darabkan -\frac{7}{2} dengan \frac{73}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-\frac{511}{22}+\frac{77}{2}$$

Tambahkan \frac{77}{2} pada -\frac{511}{22} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{168}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-7}&-\frac{7}{2\left(-2\right)-7}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-7}&\frac{2}{2\left(-2\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}77\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 77+\frac{7}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 77-\frac{2}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{168}{11}\\\frac{73}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+7y=77,x-2y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+7y=77,2x+2\left(-2\right)y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$2x+7y=77,2x-4y=4$$

Tolak 2x-4y=4 daripada 2x+7y=77 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+7y+4y=77-4$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$7y+4y=77-4$$

Tambahkan 7y pada 4y.

$$11y=77-4$$

Tambahkan 77 pada -4.

$$11y=73$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$y=\frac{73}{11}$$

Gantikan \frac{73}{11} dengan y dalam x-2y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-2\times \frac{73}{11}=2$$

Darabkan -2 kali \frac{73}{11}.

$$x-\frac{146}{11}=2$$

Tambahkan \frac{146}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{168}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{168}{11},y=\frac{73}{11}$$