Selesaikan {c}{2x+4y=1}{5x-y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 5 x - y = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=\frac{9}{22}\approx 0.409090909$$

$$y=\frac{1}{22}\approx 0.045454545$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+4y=1$$

Tolak 4y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-4y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -4y+1.

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

Gantikan -2y+\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, 5x-y=2.

$$5\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-y=2$$

Darabkan 5 kali -2y+\frac{1}{2}.

$$-10y+\frac{5}{2}-y=2$$

Tambahkan -10y pada -y.

$$-11y+\frac{5}{2}=2$$

Tolak \frac{5}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-11y=-\frac{1}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -11.

$$y=\frac{1}{22}$$

Gantikan \frac{1}{22} dengan y dalam x=-2y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-2\times \frac{1}{22}+\frac{1}{2}$$

Darabkan -2 kali \frac{1}{22}.

$$x=-\frac{1}{11}+\frac{1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada -\frac{1}{11} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{9}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-1\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}&\frac{2}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{22}+\frac{2}{11}\times 2\\\frac{5}{22}-\frac{1}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{22}\\\frac{1}{22}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+4y=1,5x-y=2$$

Untuk menjadikan 2x dan 5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5,2\times 5x+2\left(-1\right)y=2\times 2$$

Permudahkan.

$$10x+20y=5,10x-2y=4$$

Tolak 10x-2y=4 daripada 10x+20y=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+20y+2y=5-4$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$20y+2y=5-4$$

Tambahkan 20y pada 2y.

$$22y=5-4$$

Tambahkan 5 pada -4.

$$22y=1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 22.

$$y=\frac{1}{22}$$

Gantikan \frac{1}{22} dengan y dalam 5x-y=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$5x-\frac{1}{22}=2$$

Tambahkan \frac{1}{22} pada kedua-dua belah persamaan.

$$5x=\frac{45}{22}$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$x=\frac{9}{22}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{9}{22},y=\frac{1}{22}$$