Selesaikan {c}{2x+3y-10=0}{4x=3y+20}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y - 10 = 0 } \\ { 4 x = 3 y + 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=0$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x+3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$4x-3y=20$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=10$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+10.

$$x=-\frac{3}{2}y+5$$

Gantikan -\frac{3y}{2}+5 dengan x dalam persamaan lain, 4x-3y=20.

$$4\left(-\frac{3}{2}y+5\right)-3y=20$$

Darabkan 4 kali -\frac{3y}{2}+5.

$$-6y+20-3y=20$$

Tambahkan -6y pada -3y.

$$-9y+20=20$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-9y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -9.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=0$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x+3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$4x-3y=20$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\times 20\\\frac{2}{9}\times 10-\frac{1}{9}\times 20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=0$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 10 pada kedua-dua belah. Apa-apa sahaja yang ditambahkan pada sifar menjadikannya nombor itu sendiri.

$$2x+3y=10$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$4x-3y=20$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=10,4x-3y=20$$

Untuk menjadikan 2x dan 4x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\times 10,2\times 4x+2\left(-3\right)y=2\times 20$$

Permudahkan.

$$8x+12y=40,8x-6y=40$$

Tolak 8x-6y=40 daripada 8x+12y=40 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$8x-8x+12y+6y=40-40$$

Tambahkan 8x pada -8x. Seubtan 8x dan -8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12y+6y=40-40$$

Tambahkan 12y pada 6y.

$$18y=40-40$$

Tambahkan 40 pada -40.

$$18y=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 18.

$$y=0$$

Gantikan 0 dengan y dalam 4x-3y=20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$4x=20$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=0$$