Selesaikan {c}{2x+3y=13}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=5$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x+3y=13,x-y=4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x+3y=13$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=-3y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

Gantikan \frac{-3y+13}{2} dengan x dalam persamaan lain, x-y=4.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}-y=4$$

Tambahkan -\frac{3y}{2} pada -y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{13}{2}=4$$

Tolak \frac{13}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-3+13}{2}$$

Tambahkan \frac{13}{2} pada -\frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x+3y=13,x-y=4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\\\frac{1}{5}\times 13-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=5,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x+3y=13,x-y=4$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x+3y=13,2x+2\left(-1\right)y=2\times 4$$

Permudahkan.

$$2x+3y=13,2x-2y=8$$

Tolak 2x-2y=8 daripada 2x+3y=13 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x+3y+2y=13-8$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$3y+2y=13-8$$

Tambahkan 3y pada 2y.

$$5y=13-8$$

Tambahkan 13 pada -8.

$$5y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x-y=4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-1=4$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=5,y=1$$