Selesaikan {c}{10x+14y=460}{x+y=40}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 x + 14 y = 460 } \\ { x + y = 40 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=25$$

$$y=15$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10x+14y=460$$

Tolak 14y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=-14y+460$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=\frac{1}{10}\left(-14y+460\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -14y+460.

$$x=-\frac{7}{5}y+46$$

Gantikan -\frac{7y}{5}+46 dengan x dalam persamaan lain, x+y=40.

$$-\frac{7}{5}y+46+y=40$$

Tambahkan -\frac{7y}{5} pada y.

$$-\frac{2}{5}y+46=40$$

Tolak 46 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{2}{5}y=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{2}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x=-\frac{7}{5}y+46. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{7}{5}\times 15+46$$

Darabkan -\frac{7}{5} kali 15.

$$x=-21+46$$

Tambahkan 46 pada -21.

$$x=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=25,y=15$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&14\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-14}&-\frac{14}{10-14}\\-\frac{1}{10-14}&\frac{10}{10-14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{4}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\40\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 460+\frac{7}{2}\times 40\\\frac{1}{4}\times 460-\frac{5}{2}\times 40\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=25,y=15$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10x+14y=460,x+y=40$$

Untuk menjadikan 10x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 10.

$$10x+14y=460,10x+10y=10\times 40$$

Permudahkan.

$$10x+14y=460,10x+10y=400$$

Tolak 10x+10y=400 daripada 10x+14y=460 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10x-10x+14y-10y=460-400$$

Tambahkan 10x pada -10x. Seubtan 10x dan -10x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$14y-10y=460-400$$

Tambahkan 14y pada -10y.

$$4y=460-400$$

Tambahkan 460 pada -400.

$$4y=60$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=15$$

Gantikan 15 dengan y dalam x+y=40. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+15=40$$

Tolak 15 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=25,y=15$$