Selesaikan {c}{10a+b=10}{-a+b=2}

$$\left. \begin{array} { c } { 10 a + b = 10 } \\ { - a + b = 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=\frac{8}{11}\approx 0.727272727$$

$$b = \frac{30}{11} = 2\frac{8}{11} \approx 2.727272727$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$10a+b=10$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10a=-b+10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$a=\frac{1}{10}\left(-b+10\right)$$

Darabkan \frac{1}{10} kali -b+10.

$$a=-\frac{1}{10}b+1$$

Gantikan -\frac{b}{10}+1 dengan a dalam persamaan lain, -a+b=2.

$$-\left(-\frac{1}{10}b+1\right)+b=2$$

Darabkan -1 kali -\frac{b}{10}+1.

$$\frac{1}{10}b-1+b=2$$

Tambahkan \frac{b}{10} pada b.

$$\frac{11}{10}b-1=2$$

Tambahkan 1 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{11}{10}b=3$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{11}{10} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$b=\frac{30}{11}$$

Gantikan \frac{30}{11} dengan b dalam a=-\frac{1}{10}b+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{1}{10}\times \frac{30}{11}+1$$

Darabkan -\frac{1}{10} dengan \frac{30}{11} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$a=-\frac{3}{11}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{3}{11}.

$$a=\frac{8}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-\left(-1\right)}&-\frac{1}{10-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{10-\left(-1\right)}&\frac{10}{10-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&\frac{10}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 10-\frac{1}{11}\times 2\\\frac{1}{11}\times 10+\frac{10}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{11}\\\frac{30}{11}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$10a+b=10,-a+b=2$$

Tolak -a+b=2 daripada 10a+b=10 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$10a+a+b-b=10-2$$

Tambahkan b pada -b. Seubtan b dan -b saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$10a+a=10-2$$

Tambahkan 10a pada a.

$$11a=10-2$$

Tambahkan 10 pada -2.

$$11a=8$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 11.

$$a=\frac{8}{11}$$

Gantikan \frac{8}{11} dengan a dalam -a+b=2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk b.

$$-\frac{8}{11}+b=2$$

Tambahkan \frac{8}{11} pada kedua-dua belah persamaan.

$$b=\frac{30}{11}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=\frac{8}{11},b=\frac{30}{11}$$