Selesaikan {c}{-x+3y=6}{-2x+5y=11}

$$\left. \begin{array} { c } { - x + 3 y = 6 } \\ { - 2 x + 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x+3y=6$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-3y+6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

Darabkan -1 kali -3y+6.

$$x=3y-6$$

Gantikan -6+3y dengan x dalam persamaan lain, -2x+5y=11.

$$-2\left(3y-6\right)+5y=11$$

Darabkan -2 kali -6+3y.

$$-6y+12+5y=11$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y+12=11$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=3y-6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=3-6$$

Tambahkan -6 pada 3.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{-5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-5-3\left(-2\right)}&-\frac{1}{-5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\11\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 6-3\times 11\\2\times 6-11\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x+3y=6,-2x+5y=11$$

Untuk menjadikan -x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 3y=-2\times 6,-\left(-2\right)x-5y=-11$$

Permudahkan.

$$2x-6y=-12,2x-5y=-11$$

Tolak 2x-5y=-11 daripada 2x-6y=-12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-6y+5y=-12+11$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6y+5y=-12+11$$

Tambahkan -6y pada 5y.

$$-y=-12+11$$

Tambahkan -12 pada 11.

$$-y=-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -2x+5y=11. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+5=11$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=1$$