Selesaikan {c}{-5y+8x=-18}{5y+2x=58}

$$\left. \begin{array} { c } { - 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=4$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-5y+8x=-18$$

Tolak 8x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5y=-8x-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

Darabkan -\frac{1}{5} kali -8x-18.

$$y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}$$

Gantikan \frac{8x+18}{5} dengan y dalam persamaan lain, 5y+2x=58.

$$5\left(\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

Darabkan 5 kali \frac{8x+18}{5}.

$$8x+18+2x=58$$

Tambahkan 8x pada 2x.

$$10x+18=58$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x=40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam y=\frac{8}{5}x+\frac{18}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{8}{5}\times 4+\frac{18}{5}$$

Darabkan \frac{8}{5} kali 4.

$$y=\frac{32+18}{5}$$

Tambahkan \frac{18}{5} pada \frac{32}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$y=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=10,x=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{-5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}&-\frac{5}{-5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{25}\left(-18\right)+\frac{4}{25}\times 58\\\frac{1}{10}\left(-18\right)+\frac{1}{10}\times 58\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=10,x=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Untuk menjadikan -5y dan 5y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -5.

$$5\left(-5\right)y+5\times 8x=5\left(-18\right),-5\times 5y-5\times 2x=-5\times 58$$

Permudahkan.

$$-25y+40x=-90,-25y-10x=-290$$

Tolak -25y-10x=-290 daripada -25y+40x=-90 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-25y+25y+40x+10x=-90+290$$

Tambahkan -25y pada 25y. Seubtan -25y dan 25y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$40x+10x=-90+290$$

Tambahkan 40x pada 10x.

$$50x=-90+290$$

Tambahkan -90 pada 290.

$$50x=200$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 50.

$$x=4$$

Gantikan 4 dengan x dalam 5y+2x=58. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$5y+2\times 4=58$$

Darabkan 2 kali 4.

$$5y+8=58$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$5y=50$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$y=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=10,x=4$$