Selesaikan {c}{-3a+5b=11}{6a+2b=26}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 a + 5 b = 11 } \\ { 6 a + 2 b = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-3a+5b=11$$

Tolak 5b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3a=-5b+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$a=-\frac{1}{3}\left(-5b+11\right)$$

Darabkan -\frac{1}{3} kali -5b+11.

$$a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}$$

Gantikan \frac{5b-11}{3} dengan a dalam persamaan lain, 6a+2b=26.

$$6\left(\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}\right)+2b=26$$

Darabkan 6 kali \frac{5b-11}{3}.

$$10b-22+2b=26$$

Tambahkan 10b pada 2b.

$$12b-22=26$$

Tambahkan 22 pada kedua-dua belah persamaan.

$$12b=48$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 12.

$$b=4$$

Gantikan 4 dengan b dalam a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=\frac{5}{3}\times 4-\frac{11}{3}$$

Darabkan \frac{5}{3} kali 4.

$$a=\frac{20-11}{3}$$

Tambahkan -\frac{11}{3} pada \frac{20}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=4$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{5}{-3\times 2-5\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{3}{-3\times 2-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 11+\frac{5}{36}\times 26\\\frac{1}{6}\times 11+\frac{1}{12}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=3,b=4$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

Untuk menjadikan -3a dan 6a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 6 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -3.

$$6\left(-3\right)a+6\times 5b=6\times 11,-3\times 6a-3\times 2b=-3\times 26$$

Permudahkan.

$$-18a+30b=66,-18a-6b=-78$$

Tolak -18a-6b=-78 daripada -18a+30b=66 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-18a+18a+30b+6b=66+78$$

Tambahkan -18a pada 18a. Seubtan -18a dan 18a saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$30b+6b=66+78$$

Tambahkan 30b pada 6b.

$$36b=66+78$$

Tambahkan 66 pada 78.

$$36b=144$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 36.

$$b=4$$

Gantikan 4 dengan b dalam 6a+2b=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$6a+2\times 4=26$$

Darabkan 2 kali 4.

$$6a+8=26$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6a=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$a=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=3,b=4$$