Selesaikan {c}{3/2a+b=1}{a+b/2=7}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 3 } { 2 } a + b = 1 } \\ { a + \frac { b } { 2 } = 7 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=26$$

$$b=-38$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}a+b=1$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{2}a=-b+1$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$a=\frac{2}{3}\left(-b+1\right)$$

Darabkan \frac{2}{3} kali -b+1.

$$a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}$$

Gantikan \frac{-2b+2}{3} dengan a dalam persamaan lain, a+\frac{1}{2}b=7.

$$-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}+\frac{1}{2}b=7$$

Tambahkan -\frac{2b}{3} pada \frac{b}{2}.

$$-\frac{1}{6}b+\frac{2}{3}=7$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{1}{6}b=\frac{19}{3}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan -6.

$$b=-38$$

Gantikan -38 dengan b dalam a=-\frac{2}{3}b+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-\frac{2}{3}\left(-38\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{2}{3} kali -38.

$$a=\frac{76+2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{76}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$a=26$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=26,b=-38$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&1\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\\-\frac{1}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}&\frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&4\\4&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+4\times 7\\4-6\times 7\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}26\\-38\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=26,b=-38$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{3}{2}a+b=1,a+\frac{1}{2}b=7$$

Untuk menjadikan \frac{3a}{2} dan a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{3}{2}.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{2}\times \frac{1}{2}b=\frac{3}{2}\times 7$$

Permudahkan.

$$\frac{3}{2}a+b=1,\frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2}$$

Tolak \frac{3}{2}a+\frac{3}{4}b=\frac{21}{2} daripada \frac{3}{2}a+b=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}a+b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan \frac{3a}{2} pada -\frac{3a}{2}. Seubtan \frac{3a}{2} dan -\frac{3a}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$b-\frac{3}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan b pada -\frac{3b}{4}.

$$\frac{1}{4}b=1-\frac{21}{2}$$

Tambahkan 1 pada -\frac{21}{2}.

$$\frac{1}{4}b=-\frac{19}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$b=-38$$

Gantikan -38 dengan b dalam a+\frac{1}{2}b=7. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a+\frac{1}{2}\left(-38\right)=7$$

Darabkan \frac{1}{2} kali -38.

$$a-19=7$$

Tambahkan 19 pada kedua-dua belah persamaan.

$$a=26$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=26,b=-38$$