Selesaikan {c}{1/2a+b=-2}{a-2b=8}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 2 } a + b = - 2 } \\ { a - 2 b = 8 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk a, b

$$a=2$$

$$b=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk a dengan mengasingkan a di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}a+b=-2$$

Tolak b daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{2}a=-b-2$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 2.

$$a=2\left(-b-2\right)$$

Darabkan 2 kali -b-2.

$$a=-2b-4$$

Gantikan -2b-4 dengan a dalam persamaan lain, a-2b=8.

$$-2b-4-2b=8$$

Tambahkan -2b pada -2b.

$$-4b-4=8$$

Tambahkan 4 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-4b=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$b=-3$$

Gantikan -3 dengan b dalam a=-2b-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a=-2\left(-3\right)-4$$

Darabkan -2 kali -3.

$$a=6-4$$

Tambahkan -4 pada 6.

$$a=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=2,b=-3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-2\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2+\frac{1}{2}\times 8\\\frac{1}{2}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks a dan b.

$$a=2,b=-3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,a-2b=8$$

Untuk menjadikan \frac{a}{2} dan a sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{2}.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}\left(-2\right)b=\frac{1}{2}\times 8$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{2}a+b=-2,\frac{1}{2}a-b=4$$

Tolak \frac{1}{2}a-b=4 daripada \frac{1}{2}a+b=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}a+b+b=-2-4$$

Tambahkan \frac{a}{2} pada -\frac{a}{2}. Seubtan \frac{a}{2} dan -\frac{a}{2} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$b+b=-2-4$$

Tambahkan b pada b.

$$2b=-2-4$$

Tambahkan -2 pada -4.

$$2b=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$b=-3$$

Gantikan -3 dengan b dalam a-2b=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk a.

$$a-2\left(-3\right)=8$$

Darabkan -2 kali -3.

$$a+6=8$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$a=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$a=2,b=-3$$