Selesaikan {c}{1/10x+1/2y=1}{2x-10y=-20}

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 10 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { 2 x - 10 y = - 20 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1$$

Tolak \frac{y}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{10}x=-\frac{1}{2}y+1$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 10.

$$x=10\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

Darabkan 10 kali -\frac{y}{2}+1.

$$x=-5y+10$$

Gantikan -5y+10 dengan x dalam persamaan lain, 2x-10y=-20.

$$2\left(-5y+10\right)-10y=-20$$

Darabkan 2 kali -5y+10.

$$-10y+20-10y=-20$$

Tambahkan -10y pada -10y.

$$-20y+20=-20$$

Tolak 20 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-20y=-40$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -20.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-5y+10. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\times 2+10$$

Darabkan -5 kali 2.

$$x=-10+10$$

Tambahkan 10 pada -10.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{2}\\2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\\-\frac{2}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}&\frac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{10}\left(-10\right)-\frac{1}{2}\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&\frac{1}{4}\\1&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-20\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5+\frac{1}{4}\left(-20\right)\\1-\frac{1}{20}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=0,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$\frac{1}{10}x+\frac{1}{2}y=1,2x-10y=-20$$

Untuk menjadikan \frac{x}{10} dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan \frac{1}{10}.

$$2\times \frac{1}{10}x+2\times \frac{1}{2}y=2,\frac{1}{10}\times 2x+\frac{1}{10}\left(-10\right)y=\frac{1}{10}\left(-20\right)$$

Permudahkan.

$$\frac{1}{5}x+y=2,\frac{1}{5}x-y=-2$$

Tolak \frac{1}{5}x-y=-2 daripada \frac{1}{5}x+y=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$\frac{1}{5}x-\frac{1}{5}x+y+y=2+2$$

Tambahkan \frac{x}{5} pada -\frac{x}{5}. Seubtan \frac{x}{5} dan -\frac{x}{5} saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+y=2+2$$

Tambahkan y pada y.

$$2y=2+2$$

Tambahkan 2 pada 2.

$$2y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam 2x-10y=-20. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x-10\times 2=-20$$

Darabkan -10 kali 2.

$$2x-20=-20$$

Tambahkan 20 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=0$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=0$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=0,y=2$$