Selesaikan {l}{x-2(x+y)=3y-2}{x/3+y/2=3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x - 2 ( x + y ) = 3 y - 2 }\\{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } = 3 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=12$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$-x-2y-3y=-2$$

Gabungkan -2y dan -3y untuk mendapatkan -5y.

$$-x-5y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3y=18$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$-x-5y=-2$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=5y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=-\left(5y-2\right)$$

Darabkan -1 kali 5y-2.

$$x=-5y+2$$

Gantikan -5y+2 dengan x dalam persamaan lain, 2x+3y=18.

$$2\left(-5y+2\right)+3y=18$$

Darabkan 2 kali -5y+2.

$$-10y+4+3y=18$$

Tambahkan -10y pada 3y.

$$-7y+4=18$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-7y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-5y+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-5\left(-2\right)+2$$

Darabkan -5 kali -2.

$$x=10+2$$

Tambahkan 2 pada 10.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$-x-2y-3y=-2$$

Gabungkan -2y dan -3y untuk mendapatkan -5y.

$$-x-5y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3y=18$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{1}{-3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\18\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\left(-2\right)+\frac{5}{7}\times 18\\-\frac{2}{7}\left(-2\right)-\frac{1}{7}\times 18\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=12,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab -2 dengan x+y.

$$x-2x-2y=3y-2$$

Gabungkan x dan -2x untuk mendapatkan -x.

$$-x-2y=3y-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah.

$$-x-2y-3y=-2$$

Gabungkan -2y dan -3y untuk mendapatkan -5y.

$$-x-5y=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2.

$$2x+3y=18$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$-x-5y=-2,2x+3y=18$$

Untuk menjadikan -x dan 2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan -1.

$$2\left(-1\right)x+2\left(-5\right)y=2\left(-2\right),-2x-3y=-18$$

Permudahkan.

$$-2x-10y=-4,-2x-3y=-18$$

Tolak -2x-3y=-18 daripada -2x-10y=-4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-2x+2x-10y+3y=-4+18$$

Tambahkan -2x pada 2x. Seubtan -2x dan 2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-10y+3y=-4+18$$

Tambahkan -10y pada 3y.

$$-7y=-4+18$$

Tambahkan -4 pada 18.

$$-7y=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam 2x+3y=18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$2x+3\left(-2\right)=18$$

Darabkan 3 kali -2.

$$2x-6=18$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=24$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=12$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=12,y=-2$$