Selesaikan {l}{x+y=1}{x+t^2y=t}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ x + y = 1 }\\{ x + t ^ { 2 } y = t }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+1$$

Gantikan -y+1 dengan x dalam persamaan lain, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

Tambahkan -y pada t^{2}y.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1+t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

Gantikan \frac{1}{t+1} dengan y dalam x=-y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{1}{t+1}.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Tolak x+t^{2}y=t daripada x+y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

Tambahkan y pada -t^{2}y.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1-t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

Gantikan \frac{1}{t+1} dengan y dalam x+t^{2}y=t. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

Darabkan t^{2} kali \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

Tolak \frac{t^{2}}{t+1} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Selesaikan untuk x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{t}{t+1}\text{, }y=\frac{1}{t+1}\text{, }&t\neq -1\\x=1-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&t=1\end{matrix}\right.$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$x+y=1$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=-y+1$$

Gantikan -y+1 dengan x dalam persamaan lain, x+t^{2}y=t.

$$-y+1+t^{2}y=t$$

Tambahkan -y pada t^{2}y.

$$\left(t^{2}-1\right)y+1=t$$

Tolak 1 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\left(t^{2}-1\right)y=t-1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1+t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

Gantikan \frac{1}{1+t} dengan y dalam x=-y+1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{t+1}+1$$

Tambahkan 1 pada -\frac{1}{1+t}.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&t^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}&-\frac{1}{t^{2}-1}\\-\frac{1}{t^{2}-1}&\frac{1}{t^{2}-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\t\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t^{2}}{t^{2}-1}+\left(-\frac{1}{t^{2}-1}\right)t\\-\frac{1}{t^{2}-1}+\frac{1}{t^{2}-1}t\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{t}{t+1}\\\frac{1}{t+1}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$x+y=1,x+t^{2}y=t$$

Tolak x+t^{2}y=t daripada x+y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$x-x+y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

Tambahkan x pada -x. Seubtan x dan -x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+\left(-t^{2}\right)y=1-t$$

Tambahkan y pada -t^{2}y.

$$\left(1-t^{2}\right)y=1-t$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 1-t^{2}.

$$y=\frac{1}{t+1}$$

Gantikan \frac{1}{t+1} dengan y dalam x+t^{2}y=t. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+t^{2}\times \frac{1}{t+1}=t$$

Darabkan t^{2} kali \frac{1}{t+1}.

$$x+\frac{t^{2}}{t+1}=t$$

Tolak \frac{t^{2}}{t+1} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{t}{t+1}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{t}{t+1},y=\frac{1}{t+1}$$