Selesaikan {l}{4x-y=11}{-2x+3y=-3}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x - y = 11 }\\{ - 2 x + 3 y = - 3 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x-y=11$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=y+11$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+11\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali y+11.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}$$

Gantikan \frac{11+y}{4} dengan x dalam persamaan lain, -2x+3y=-3.

$$-2\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-3$$

Darabkan -2 kali \frac{11+y}{4}.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+3y=-3$$

Tambahkan -\frac{y}{2} pada 3y.

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=-3$$

Tambahkan \frac{11}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1+11}{4}$$

Tambahkan \frac{11}{4} pada \frac{1}{4} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 11+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 11+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=3,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

Untuk menjadikan 4x dan -2x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\times 11,4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\left(-3\right)$$

Permudahkan.

$$-8x+2y=-22,-8x+12y=-12$$

Tolak -8x+12y=-12 daripada -8x+2y=-22 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-8x+8x+2y-12y=-22+12$$

Tambahkan -8x pada 8x. Seubtan -8x dan 8x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2y-12y=-22+12$$

Tambahkan 2y pada -12y.

$$-10y=-22+12$$

Tambahkan -22 pada 12.

$$-10y=-10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -2x+3y=-3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-2x+3=-3$$

Tolak 3 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$x=3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=3,y=1$$