Selesaikan {l}{4x+3y=-2}{-3x-2y=1}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x + 3 y = - 2 }\\{ - 3 x - 2 y = 1 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$4x+3y=-2$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=-3y-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-2\right)$$

Darabkan \frac{1}{4} kali -3y-2.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}$$

Gantikan -\frac{3y}{4}-\frac{1}{2} dengan x dalam persamaan lain, -3x-2y=1.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}\right)-2y=1$$

Darabkan -3 kali -\frac{3y}{4}-\frac{1}{2}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{3}{2}-2y=1$$

Tambahkan \frac{9y}{4} pada -2y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{3}{2}=1$$

Tolak \frac{3}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{1}{2}$$

Darabkan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam x=-\frac{3}{4}y-\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-2\right)-\frac{1}{2}$$

Darabkan -\frac{3}{4} kali -2.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

Tambahkan -\frac{1}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-2\right)-3\\3\left(-2\right)+4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=-2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$4x+3y=-2,-3x-2y=1$$

Untuk menjadikan 4x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 4.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\left(-2\right),4\left(-3\right)x+4\left(-2\right)y=4$$

Permudahkan.

$$-12x-9y=6,-12x-8y=4$$

Tolak -12x-8y=4 daripada -12x-9y=6 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-12x+12x-9y+8y=6-4$$

Tambahkan -12x pada 12x. Seubtan -12x dan 12x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-9y+8y=6-4$$

Tambahkan -9y pada 8y.

$$-y=6-4$$

Tambahkan 6 pada -4.

$$-y=2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$y=-2$$

Gantikan -2 dengan y dalam -3x-2y=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x-2\left(-2\right)=1$$

Darabkan -2 kali -2.

$$-3x+4=1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=-2$$