Selesaikan {l}{2x-y=1}{x+2y=8}

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 2 x - y = 1 }\\{ x + 2 y = 8 }\end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$2x-y=1,x+2y=8$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$2x-y=1$$

Tambahkan y pada kedua-dua belah persamaan.

$$2x=y+1$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+1\right)$$

Darabkan \frac{1}{2} kali y+1.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Gantikan \frac{1+y}{2} dengan x dalam persamaan lain, x+2y=8.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+2y=8$$

Tambahkan \frac{y}{2} pada 2y.

$$\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}=8$$

Tolak \frac{1}{2} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=\frac{15}{2}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Darabkan \frac{1}{2} kali 3.

$$x=\frac{3+1}{2}$$

Tambahkan \frac{1}{2} pada \frac{3}{2} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$2x-y=1,x+2y=8$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\times 2-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\8\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\times 8\\-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=2,y=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$2x-y=1,x+2y=8$$

Untuk menjadikan 2x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 2.

$$2x-y=1,2x+2\times 2y=2\times 8$$

Permudahkan.

$$2x-y=1,2x+4y=16$$

Tolak 2x+4y=16 daripada 2x-y=1 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2x-2x-y-4y=1-16$$

Tambahkan 2x pada -2x. Seubtan 2x dan -2x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-y-4y=1-16$$

Tambahkan -y pada -4y.

$$-5y=1-16$$

Tambahkan 1 pada -16.

$$-5y=-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$y=3$$

Gantikan 3 dengan y dalam x+2y=8. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x+2\times 3=8$$

Darabkan 2 kali 3.

$$x+6=8$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=2,y=3$$