Selesaikan {r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165}

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk u, v

$$u=25$$

$$v=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk u dengan mengasingkan u di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$u-30v=-65$$

Tambahkan 30v pada kedua-dua belah persamaan.

$$u=30v-65$$

Gantikan 30v-65 dengan u dalam persamaan lain, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

Darabkan -3 kali 30v-65.

$$-90v+195+80v=165$$

Tambahkan -90v pada 80v.

$$-10v+195=165$$

Tolak 195 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-10v=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -10.

$$v=3$$

Gantikan 3 dengan v dalam u=30v-65. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$u=30\times 3-65$$

Darabkan 30 kali 3.

$$u=90-65$$

Tambahkan -65 pada 90.

$$u=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=25,v=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks u dan v.

$$u=25,v=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

Untuk menjadikan u dan -3u sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

Permudahkan.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

Tolak -3u+80v=165 daripada -3u+90v=195 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

Tambahkan -3u pada 3u. Seubtan -3u dan 3u saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$90v-80v=195-165$$

Tambahkan 90v pada -80v.

$$10v=195-165$$

Tambahkan 195 pada -165.

$$10v=30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 10.

$$v=3$$

Gantikan 3 dengan v dalam -3u+80v=165. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk u.

$$-3u+80\times 3=165$$

Darabkan 80 kali 3.

$$-3u+240=165$$

Tolak 240 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3u=-75$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$u=25$$

Sistem kini diselesaikan.

$$u=25,v=3$$