Selesaikan {r}{7x+3y=-15}{12y-5x=39}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 7 x + 3 y = - 15 } \\ { 12 y - 5 x = 39 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$7x+3y=-15$$

Tolak 3y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$7x=-3y-15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y-15\right)$$

Darabkan \frac{1}{7} kali -3y-15.

$$x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}$$

Gantikan \frac{-3y-15}{7} dengan x dalam persamaan lain, -5x+12y=39.

$$-5\left(-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}\right)+12y=39$$

Darabkan -5 kali \frac{-3y-15}{7}.

$$\frac{15}{7}y+\frac{75}{7}+12y=39$$

Tambahkan \frac{15y}{7} pada 12y.

$$\frac{99}{7}y+\frac{75}{7}=39$$

Tolak \frac{75}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{99}{7}y=\frac{198}{7}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{99}{7} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=-\frac{3}{7}y-\frac{15}{7}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{3}{7}\times 2-\frac{15}{7}$$

Darabkan -\frac{3}{7} kali 2.

$$x=\frac{-6-15}{7}$$

Tambahkan -\frac{15}{7} pada -\frac{6}{7} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\-5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7\times 12-3\left(-5\right)}&-\frac{3}{7\times 12-3\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{7\times 12-3\left(-5\right)}&\frac{7}{7\times 12-3\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}&-\frac{1}{33}\\\frac{5}{99}&\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\39\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{33}\left(-15\right)-\frac{1}{33}\times 39\\\frac{5}{99}\left(-15\right)+\frac{7}{99}\times 39\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=-3,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$7x+3y=-15,-5x+12y=39$$

Untuk menjadikan 7x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 7.

$$-5\times 7x-5\times 3y=-5\left(-15\right),7\left(-5\right)x+7\times 12y=7\times 39$$

Permudahkan.

$$-35x-15y=75,-35x+84y=273$$

Tolak -35x+84y=273 daripada -35x-15y=75 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-35x+35x-15y-84y=75-273$$

Tambahkan -35x pada 35x. Seubtan -35x dan 35x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-15y-84y=75-273$$

Tambahkan -15y pada -84y.

$$-99y=75-273$$

Tambahkan 75 pada -273.

$$-99y=-198$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -99.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -5x+12y=39. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x+12\times 2=39$$

Darabkan 12 kali 2.

$$-5x+24=39$$

Tolak 24 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=15$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=-3,y=2$$