Selesaikan {r}{6x-5y=14}{-3x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x - 5 y = 14 } \\ { - 3 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x-5y=14$$

Tambahkan 5y pada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=5y+14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(5y+14\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali 5y+14.

$$x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}$$

Gantikan \frac{5y}{6}+\frac{7}{3} dengan x dalam persamaan lain, -3x+5y=-2.

$$-3\left(\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}\right)+5y=-2$$

Darabkan -3 kali \frac{5y}{6}+\frac{7}{3}.

$$-\frac{5}{2}y-7+5y=-2$$

Tambahkan -\frac{5y}{2} pada 5y.

$$\frac{5}{2}y-7=-2$$

Tambahkan 7 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{5}{2} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam x=\frac{5}{6}y+\frac{7}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{5}{6}\times 2+\frac{7}{3}$$

Darabkan \frac{5}{6} kali 2.

$$x=\frac{5+7}{3}$$

Tambahkan \frac{7}{3} pada \frac{5}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&-\frac{-5}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}&\frac{6}{6\times 5-\left(-5\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-2\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 14+\frac{1}{3}\left(-2\right)\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{2}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=4,y=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x-5y=14,-3x+5y=-2$$

Untuk menjadikan 6x dan -3x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$-3\times 6x-3\left(-5\right)y=-3\times 14,6\left(-3\right)x+6\times 5y=6\left(-2\right)$$

Permudahkan.

$$-18x+15y=-42,-18x+30y=-12$$

Tolak -18x+30y=-12 daripada -18x+15y=-42 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-18x+18x+15y-30y=-42+12$$

Tambahkan -18x pada 18x. Seubtan -18x dan 18x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$15y-30y=-42+12$$

Tambahkan 15y pada -30y.

$$-15y=-42+12$$

Tambahkan -42 pada 12.

$$-15y=-30$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -15.

$$y=2$$

Gantikan 2 dengan y dalam -3x+5y=-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-3x+5\times 2=-2$$

Darabkan 5 kali 2.

$$-3x+10=-2$$

Tolak 10 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=-12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=4,y=2$$