Selesaikan {r}{6x+y=4}{x-4y=19}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 6 x + y = 4 } \\ { x - 4 y = 19 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1.4$$

$$y = -\frac{22}{5} = -4\frac{2}{5} = -4.4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$6x+y=4$$

Tolak y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$6x=-y+4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y+4\right)$$

Darabkan \frac{1}{6} kali -y+4.

$$x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}$$

Gantikan -\frac{y}{6}+\frac{2}{3} dengan x dalam persamaan lain, x-4y=19.

$$-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}-4y=19$$

Tambahkan -\frac{y}{6} pada -4y.

$$-\frac{25}{6}y+\frac{2}{3}=19$$

Tolak \frac{2}{3} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-\frac{25}{6}y=\frac{55}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{25}{6} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Gantikan -\frac{22}{5} dengan y dalam x=-\frac{1}{6}y+\frac{2}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-\frac{22}{5}\right)+\frac{2}{3}$$

Darabkan -\frac{1}{6} dengan -\frac{22}{5} dengan mendarabkan pengangka dengan pengangka dan penyebut dengan penyebut. Kemudian kurangkan pecahan tersebut ke sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{2}{3}$$

Tambahkan \frac{2}{3} pada \frac{11}{15} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-1}&-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-1}&\frac{6}{6\left(-4\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{1}{25}\\\frac{1}{25}&-\frac{6}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\19\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 4+\frac{1}{25}\times 19\\\frac{1}{25}\times 4-\frac{6}{25}\times 19\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5}\\-\frac{22}{5}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$6x+y=4,x-4y=19$$

Untuk menjadikan 6x dan x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 1 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 6.

$$6x+y=4,6x+6\left(-4\right)y=6\times 19$$

Permudahkan.

$$6x+y=4,6x-24y=114$$

Tolak 6x-24y=114 daripada 6x+y=4 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$6x-6x+y+24y=4-114$$

Tambahkan 6x pada -6x. Seubtan 6x dan -6x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$y+24y=4-114$$

Tambahkan y pada 24y.

$$25y=4-114$$

Tambahkan 4 pada -114.

$$25y=-110$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 25.

$$y=-\frac{22}{5}$$

Gantikan -\frac{22}{5} dengan y dalam x-4y=19. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x-4\left(-\frac{22}{5}\right)=19$$

Darabkan -4 kali -\frac{22}{5}.

$$x+\frac{88}{5}=19$$

Tolak \frac{88}{5} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$x=\frac{7}{5}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=\frac{7}{5},y=-\frac{22}{5}$$