Selesaikan {r}{5p-q=7}{-2p+3q=5}

$$\left\{ \begin{array} { r } { 5 p - q = 7 } \\ { - 2 p + 3 q = 5 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk p, q

$$p=2$$

$$q=3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk p dengan mengasingkan p di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$5p-q=7$$

Tambahkan q pada kedua-dua belah persamaan.

$$5p=q+7$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 5.

$$p=\frac{1}{5}\left(q+7\right)$$

Darabkan \frac{1}{5} kali q+7.

$$p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}$$

Gantikan \frac{7+q}{5} dengan p dalam persamaan lain, -2p+3q=5.

$$-2\left(\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}\right)+3q=5$$

Darabkan -2 kali \frac{7+q}{5}.

$$-\frac{2}{5}q-\frac{14}{5}+3q=5$$

Tambahkan -\frac{2q}{5} pada 3q.

$$\frac{13}{5}q-\frac{14}{5}=5$$

Tambahkan \frac{14}{5} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{13}{5}q=\frac{39}{5}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{13}{5} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$q=3$$

Gantikan 3 dengan q dalam p=\frac{1}{5}q+\frac{7}{5}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$p=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

Darabkan \frac{1}{5} kali 3.

$$p=\frac{3+7}{5}$$

Tambahkan \frac{7}{5} pada \frac{3}{5} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$p=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=2,q=3$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{2}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 5\\\frac{2}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 5\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks p dan q.

$$p=2,q=3$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$5p-q=7,-2p+3q=5$$

Untuk menjadikan 5p dan -2p sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 5.

$$-2\times 5p-2\left(-1\right)q=-2\times 7,5\left(-2\right)p+5\times 3q=5\times 5$$

Permudahkan.

$$-10p+2q=-14,-10p+15q=25$$

Tolak -10p+15q=25 daripada -10p+2q=-14 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-10p+10p+2q-15q=-14-25$$

Tambahkan -10p pada 10p. Seubtan -10p dan 10p saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$2q-15q=-14-25$$

Tambahkan 2q pada -15q.

$$-13q=-14-25$$

Tambahkan -14 pada -25.

$$-13q=-39$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -13.

$$q=3$$

Gantikan 3 dengan q dalam -2p+3q=5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk p.

$$-2p+3\times 3=5$$

Darabkan 3 kali 3.

$$-2p+9=5$$

Tolak 9 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-2p=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -2.

$$p=2$$

Sistem kini diselesaikan.

$$p=2,q=3$$