Selesaikan {r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Gabungkan -2y dan 12y untuk mendapatkan 10y.

$$3x+10y=13$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Darabkan -3 dan 3 untuk mendapatkan -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Gabungkan 4x dan -9x untuk mendapatkan -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk x dengan mengasingkan x di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$3x+10y=13$$

Tolak 10y daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3x=-10y+13$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

Darabkan \frac{1}{3} kali -10y+13.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

Gantikan \frac{-10y+13}{3} dengan x dalam persamaan lain, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

Darabkan -5 kali \frac{-10y+13}{3}.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

Tambahkan \frac{50y}{3} pada -8y.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

Tambahkan \frac{65}{3} pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{26}{3} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

Tambahkan \frac{13}{3} pada -\frac{10}{3} dengan mencari satu penyebut sepunya dan menambah pengangka. Kemudian kurangkan pecahan kepada sebutan terendah yang mungkin.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Gabungkan -2y dan 12y untuk mendapatkan 10y.

$$3x+10y=13$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Darabkan -3 dan 3 untuk mendapatkan -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Gabungkan 4x dan -9x untuk mendapatkan -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks x dan y.

$$x=1,y=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 3.

$$3x-2y+12y=13$$

Gabungkan -2y dan 12y untuk mendapatkan 10y.

$$3x+10y=13$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan 6, gandaan sepunya terkecil sebanyak 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Darabkan 2 dan 2 untuk mendapatkan 4.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

Gunakan sifat kalis agihan untuk mendarab 4 dengan -2y+x.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

Darabkan -3 dan 3 untuk mendapatkan -9.

$$-8y+4x-9x=-13$$

Gabungkan 4x dan -9x untuk mendapatkan -5x.

$$-8y-5x=-13$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

Untuk menjadikan 3x dan -5x sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -5 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 3.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

Permudahkan.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

Tolak -15x-24y=-39 daripada -15x-50y=-65 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

Tambahkan -15x pada 15x. Seubtan -15x dan 15x saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-50y+24y=-65+39$$

Tambahkan -50y pada 24y.

$$-26y=-65+39$$

Tambahkan -65 pada 39.

$$-26y=-26$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -26.

$$y=1$$

Gantikan 1 dengan y dalam -5x-8y=-13. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk x.

$$-5x-8=-13$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-5x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -5.

$$x=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$x=1,y=1$$