Selesaikan {l}{y-x=6}{2x+2y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y - x = 6 } \\ { 2 x + 2 y = 26 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

$$y = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-x=6$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=x+6$$

Gantikan x+6 dengan y dalam persamaan lain, 2y+2x=26.

$$2\left(x+6\right)+2x=26$$

Darabkan 2 kali x+6.

$$2x+12+2x=26$$

Tambahkan 2x pada 2x.

$$4x+12=26$$

Tolak 12 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{7}{2} dengan x dalam y=x+6. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=\frac{7}{2}+6$$

Tambahkan 6 pada \frac{7}{2}.

$$y=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\26\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\\-\frac{1}{2}\times 6+\frac{1}{4}\times 26\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\\frac{7}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-x=6,2y+2x=26$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2\left(-1\right)x=2\times 6,2y+2x=26$$

Permudahkan.

$$2y-2x=12,2y+2x=26$$

Tolak 2y+2x=26 daripada 2y-2x=12 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y-2x-2x=12-26$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-2x-2x=12-26$$

Tambahkan -2x pada -2x.

$$-4x=12-26$$

Tambahkan 12 pada -26.

$$-4x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{7}{2}$$

Gantikan \frac{7}{2} dengan x dalam 2y+2x=26. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+2\times \frac{7}{2}=26$$

Darabkan 2 kali \frac{7}{2}.

$$2y+7=26$$

Tolak 7 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=19$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=\frac{19}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{19}{2},x=\frac{7}{2}$$