Selesaikan {l}{y=x-2}{y=4x+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 2 } \\ { y = 4 x + 1 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=-3$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-x=-2$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=x-2$$

Gantikan x-2 dengan y dalam persamaan lain, y-4x=1.

$$x-2-4x=1$$

Tambahkan x pada -4x.

$$-3x-2=1$$

Tambahkan 2 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3x=3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-1-2$$

Tambahkan -2 pada -1.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{-4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-1\right)}&\frac{1}{-4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-3,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=1$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-x=-2,y-4x=1$$

Tolak y-4x=1 daripada y-x=-2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-x+4x=-2-1$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x+4x=-2-1$$

Tambahkan -x pada 4x.

$$3x=-2-1$$

Tambahkan -2 pada -1.

$$3x=-3$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y-4x=1. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-4\left(-1\right)=1$$

Darabkan -4 kali -1.

$$y+4=1$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-3$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-3,x=-1$$