Selesaikan {l}{y=x-18}{y=15x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = 15 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286$$

$$y = -\frac{135}{7} = -19\frac{2}{7} \approx -19.285714286$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 15x daripada kedua-dua belah.

$$y-15x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-x=-18$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=x-18$$

Gantikan x-18 dengan y dalam persamaan lain, y-15x=0.

$$x-18-15x=0$$

Tambahkan x pada -15x.

$$-14x-18=0$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-14x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Gantikan -\frac{9}{7} dengan x dalam y=x-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{9}{7}-18$$

Tambahkan -18 pada -\frac{9}{7}.

$$y=-\frac{135}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 15x daripada kedua-dua belah.

$$y-15x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{-15-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-15-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-15-\left(-1\right)}&\frac{1}{-15-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}&-\frac{1}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{14}\left(-18\right)\\\frac{1}{14}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{135}{7}\\-\frac{9}{7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 15x daripada kedua-dua belah.

$$y-15x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-x=-18,y-15x=0$$

Tolak y-15x=0 daripada y-x=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-x+15x=-18$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x+15x=-18$$

Tambahkan -x pada 15x.

$$14x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 14.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Gantikan -\frac{9}{7} dengan x dalam y-15x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-15\left(-\frac{9}{7}\right)=0$$

Darabkan -15 kali -\frac{9}{7}.

$$y+\frac{135}{7}=0$$

Tolak \frac{135}{7} daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-\frac{135}{7}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-\frac{135}{7},x=-\frac{9}{7}$$