Selesaikan {l}{y=x-18}{y=1/4x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = x - 18 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=24$$

$$y=6$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-x=-18$$

Tambahkan x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=x-18$$

Gantikan x-18 dengan y dalam persamaan lain, y-\frac{1}{4}x=0.

$$x-18-\frac{1}{4}x=0$$

Tambahkan x pada -\frac{x}{4}.

$$\frac{3}{4}x-18=0$$

Tambahkan 18 pada kedua-dua belah persamaan.

$$\frac{3}{4}x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan \frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=24$$

Gantikan 24 dengan x dalam y=x-18. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=24-18$$

Tambahkan -18 pada 24.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=24$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}&\frac{1}{-\frac{1}{4}-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-18\right)\\-\frac{4}{3}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\24\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=6,x=24$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak x daripada kedua-dua belah.

$$y-x=-18$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak \frac{1}{4}x daripada kedua-dua belah.

$$y-\frac{1}{4}x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-x=-18,y-\frac{1}{4}x=0$$

Tolak y-\frac{1}{4}x=0 daripada y-x=-18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-x+\frac{1}{4}x=-18$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-x+\frac{1}{4}x=-18$$

Tambahkan -x pada \frac{x}{4}.

$$-\frac{3}{4}x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan -\frac{3}{4} yang bersamaan dengan mendarab kedua-dua belah dengan salingan pecahan.

$$x=24$$

Gantikan 24 dengan x dalam y-\frac{1}{4}x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-\frac{1}{4}\times 24=0$$

Darabkan -\frac{1}{4} kali 24.

$$y-6=0$$

Tambahkan 6 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=6$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=6,x=24$$