Selesaikan {l}{y=9-2x}{3x+2y=16}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 9 - 2 x } \\ { 3 x + 2 y = 16 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+2x=9$$

Tolak 2x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-2x+9$$

Gantikan -2x+9 dengan y dalam persamaan lain, 2y+3x=16.

$$2\left(-2x+9\right)+3x=16$$

Darabkan 2 kali -2x+9.

$$-4x+18+3x=16$$

Tambahkan -4x pada 3x.

$$-x+18=16$$

Tolak 18 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-x=-2$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=-2x+9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-2\times 2+9$$

Darabkan -2 kali 2.

$$y=-4+9$$

Tambahkan 9 pada -4.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{1}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\16\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 9+2\times 16\\2\times 9-16\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=5,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan 2x pada kedua-dua belah.

$$y+2x=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+2x=9,2y+3x=16$$

Untuk menjadikan y dan 2y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 2 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$2y+2\times 2x=2\times 9,2y+3x=16$$

Permudahkan.

$$2y+4x=18,2y+3x=16$$

Tolak 2y+3x=16 daripada 2y+4x=18 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$2y-2y+4x-3x=18-16$$

Tambahkan 2y pada -2y. Seubtan 2y dan -2y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$4x-3x=18-16$$

Tambahkan 4x pada -3x.

$$x=18-16$$

Tambahkan 18 pada -16.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 2y+3x=16. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$2y+3\times 2=16$$

Darabkan 3 kali 2.

$$2y+6=16$$

Tolak 6 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$2y=10$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 2.

$$y=5$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=5,x=2$$