Selesaikan {l}{y=4x+5}{y=8x+9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { y = 8 x + 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=-1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=9$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-4x=5$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4x+5$$

Gantikan 4x+5 dengan y dalam persamaan lain, y-8x=9.

$$4x+5-8x=9$$

Tambahkan 4x pada -8x.

$$-4x+5=9$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y=4x+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4\left(-1\right)+5$$

Darabkan 4 kali -1.

$$y=-4+5$$

Tambahkan 5 pada -4.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=9$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-8-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-8-\left(-4\right)}&\frac{1}{-8-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-9\\\frac{1}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=-1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 8x daripada kedua-dua belah.

$$y-8x=9$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-4x=5,y-8x=9$$

Tolak y-8x=9 daripada y-4x=5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-4x+8x=5-9$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-4x+8x=5-9$$

Tambahkan -4x pada 8x.

$$4x=5-9$$

Tambahkan 5 pada -9.

$$4x=-4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=-1$$

Gantikan -1 dengan x dalam y-8x=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-8\left(-1\right)=9$$

Darabkan -8 kali -1.

$$y+8=9$$

Tolak 8 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=-1$$