Selesaikan {l}{y=4x+5}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-4x=5$$

Tambahkan 4x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=4x+5$$

Gantikan 4x+5 dengan y dalam persamaan lain, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

Darabkan -3 kali 4x+5.

$$-12x-15+4x=3$$

Tambahkan -12x pada 4x.

$$-8x-15=3$$

Tambahkan 15 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-8x=18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Gantikan -\frac{9}{4} dengan x dalam y=4x+5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

Darabkan 4 kali -\frac{9}{4}.

$$y=-9+5$$

Tambahkan 5 pada -9.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 4x daripada kedua-dua belah.

$$y-4x=5$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

Untuk menjadikan y dan -3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan -3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

Permudahkan.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

Tolak -3y+4x=3 daripada -3y+12x=-15 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

Tambahkan -3y pada 3y. Seubtan -3y dan 3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$12x-4x=-15-3$$

Tambahkan 12x pada -4x.

$$8x=-15-3$$

Tambahkan -15 pada -3.

$$8x=-18$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 8.

$$x=-\frac{9}{4}$$

Gantikan -\frac{9}{4} dengan x dalam -3y+4x=3. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

Darabkan 4 kali -\frac{9}{4}.

$$-3y-9=3$$

Tambahkan 9 pada kedua-dua belah persamaan.

$$-3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -3.

$$y=-4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$