Selesaikan {l}{y=3x-5}{y=2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 5 } \\ { y = 2 x } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=5$$

$$y=10$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=-5$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x-5$$

Gantikan 3x-5 dengan y dalam persamaan lain, y-2x=0.

$$3x-5-2x=0$$

Tambahkan 3x pada -2x.

$$x-5=0$$

Tambahkan 5 pada kedua-dua belah persamaan.

$$x=5$$

Gantikan 5 dengan x dalam y=3x-5. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3\times 5-5$$

Darabkan 3 kali 5.

$$y=15-5$$

Tambahkan -5 pada 15.

$$y=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=10,x=5$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&\frac{1}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\0\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-5\right)\\-\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=10,x=5$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-5$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=-5,y-2x=0$$

Tolak y-2x=0 daripada y-3x=-5 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y-3x+2x=-5$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-3x+2x=-5$$

Tambahkan -3x pada 2x.

$$-x=-5$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -1.

$$x=5$$

Gantikan 5 dengan x dalam y-2x=0. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-2\times 5=0$$

Darabkan -2 kali 5.

$$y-10=0$$

Tambahkan 10 pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=10$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=10,x=5$$