Selesaikan {l}{y=3x-2}{5x+4y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x - 2 } \\ { 5 x + 4 y = 9 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-2$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-3x=-2$$

Tambahkan 3x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x-2$$

Gantikan 3x-2 dengan y dalam persamaan lain, 4y+5x=9.

$$4\left(3x-2\right)+5x=9$$

Darabkan 4 kali 3x-2.

$$12x-8+5x=9$$

Tambahkan 12x pada 5x.

$$17x-8=9$$

Tambahkan 8 pada kedua-dua belah persamaan.

$$17x=17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 17.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam y=3x-2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=3-2$$

Tambahkan -2 pada 3.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-2$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{1}{5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&\frac{3}{17}\\-\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\9\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\left(-2\right)+\frac{3}{17}\times 9\\-\frac{4}{17}\left(-2\right)+\frac{1}{17}\times 9\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=1,x=1$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-2$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-3x=-2,4y+5x=9$$

Untuk menjadikan y dan 4y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 4 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$4y+4\left(-3\right)x=4\left(-2\right),4y+5x=9$$

Permudahkan.

$$4y-12x=-8,4y+5x=9$$

Tolak 4y+5x=9 daripada 4y-12x=-8 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$4y-4y-12x-5x=-8-9$$

Tambahkan 4y pada -4y. Seubtan 4y dan -4y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-12x-5x=-8-9$$

Tambahkan -12x pada -5x.

$$-17x=-8-9$$

Tambahkan -8 pada -9.

$$-17x=-17$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -17.

$$x=1$$

Gantikan 1 dengan x dalam 4y+5x=9. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$4y+5=9$$

Tolak 5 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$4y=4$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$y=1$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=1,x=1$$