Selesaikan {l}{y=3x+8}{x^2+y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 3 x + 8 } \\ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}\approx -2.4-0.489897949i\text{, }y=\frac{-3\sqrt{6}i+4}{5}\approx 0.8-1.469693846i$$

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\approx -2.4+0.489897949i\text{, }y=\frac{4+3\sqrt{6}i}{5}\approx 0.8+1.469693846i$$

Langkah Menggunakan Penggantian dan Formula Kuadratik

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=8$$

Tolak -3x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=3x+8$$

Gantikan 3x+8 dengan y dalam persamaan lain, x^{2}+y^{2}=4.

$$x^{2}+\left(3x+8\right)^{2}=4$$

Kuasa dua 3x+8.

$$x^{2}+9x^{2}+48x+64=4$$

Tambahkan x^{2} pada 9x^{2}.

$$10x^{2}+48x+64=4$$

Tolak 4 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$10x^{2}+48x+60=0$$

Persamaan ini dalam bentuk piawai: ax^{2}+bx+c=0. Gantikan 1+1\times 3^{2} dengan a, 1\times 8\times 2\times 3 dengan b dan 60 dengan c dalam formula kuadratik, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

Kuasa dua 1\times 8\times 2\times 3.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 10\times 60}}{2\times 10}$$

Darabkan -4 kali 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-40\times 60}}{2\times 10}$$

Darabkan -40 kali 60.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-2400}}{2\times 10}$$

Tambahkan 2304 pada -2400.

$$x=\frac{-48±\sqrt{-96}}{2\times 10}$$

Ambil punca kuasa dua -96.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{2\times 10}$$

Darabkan 2 kali 1+1\times 3^{2}.

$$x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} apabila ± ialah plus. Tambahkan -48 pada 4i\sqrt{6}.

$$x=\frac{-48+4\sqrt{6}i}{20}$$

Bahagikan -48+4i\sqrt{6} dengan 20.

$$x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}$$

Sekarang selesaikan persamaan x=\frac{-48±4\sqrt{6}i}{20} apabila ± ialah minus. Tolak 4i\sqrt{6} daripada -48.

$$x=\frac{-4\sqrt{6}i-48}{20}$$

Bahagikan -48-4i\sqrt{6} dengan 20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$

Terdapat dua penyelesaian untuk x: \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} dan \frac{-12-i\sqrt{6}}{5}. Gantikan \frac{-12+i\sqrt{6}}{5} dengan x dalam persamaan y=3x+8 untuk mencari penyelesaian sepadan bagi y yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8$$

Sekarang gantikan \frac{-12-i\sqrt{6}}{5} dengan x dalam persamaan y=3x+8 tersebut dan selesaikan untuk mencari penyelesaian sepadan bagi y yang memuaskan kedua-dua persamaan.

$$y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=3\times \frac{-12+\sqrt{6}i}{5}+8,x=\frac{-12+\sqrt{6}i}{5}\text{ or }y=3\times \frac{-\sqrt{6}i-12}{5}+8,x=\frac{-\sqrt{6}i-12}{5}$$