Selesaikan {l}{y=2x}{x+3y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { x + 3 y = 14 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y-2x=0$$

Tambahkan 2x pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=2x$$

Gantikan 2x dengan y dalam persamaan lain, 3y+x=14.

$$3\times 2x+x=14$$

Darabkan 3 kali 2x.

$$6x+x=14$$

Tambahkan 6x pada x.

$$7x=14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 7.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam y=2x. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=2\times 2$$

Darabkan 2 kali 2.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=2$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\14\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 14\\\frac{1}{7}\times 14\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=4,x=2$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tolak 2x daripada kedua-dua belah.

$$y-2x=0$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y-2x=0,3y+x=14$$

Untuk menjadikan y dan 3y sama, darabkan semua sebutan pada setiap belah persamaan pertama dengan 3 dan semua sebutan pada setiap belah yang kedua dengan 1.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y+x=14$$

Permudahkan.

$$3y-6x=0,3y+x=14$$

Tolak 3y+x=14 daripada 3y-6x=0 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$3y-3y-6x-x=-14$$

Tambahkan 3y pada -3y. Seubtan 3y dan -3y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$-6x-x=-14$$

Tambahkan -6x pada -x.

$$-7x=-14$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -7.

$$x=2$$

Gantikan 2 dengan x dalam 3y+x=14. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$3y+2=14$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$3y=12$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 3.

$$y=4$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=4,x=2$$