Selesaikan {l}{y=-x+2}{y=3x-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - x + 2 } \\ { y = 3 x - 4 } \end{array} \right.$$

Selesaikan untuk y, x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

Langkah Menggunakan Penggantian

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-4$$

Untuk menyelesaikan sepasang persamaan menggunakan penggantian, mula-mula selesaikan satu daripada persamaan untuk salah satu daripada pemboleh ubah. Kemudian gantikan hasil untuk pemboleh ubah itu dalam persamaan lain.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Pilih salah satu daripada persamaan dan selesaikannya untuk y dengan mengasingkan y di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$y+x=2$$

Tolak x daripada kedua-dua belah persamaan.

$$y=-x+2$$

Gantikan -x+2 dengan y dalam persamaan lain, y-3x=-4.

$$-x+2-3x=-4$$

Tambahkan -x pada -3x.

$$-4x+2=-4$$

Tolak 2 daripada kedua-dua belah persamaan.

$$-4x=-6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan -4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3}{2} dengan x dalam y=-x+2. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y=-\frac{3}{2}+2$$

Tambahkan 2 pada -\frac{3}{2}.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Matriks

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-4$$

Letakkan persamaan dalam bentuk piawai dan kemudian gunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Tuliskan persamaan dalam bentuk matriks.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan ke kiri persamaan dengan matriks songsang bagi \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Matriks hasil darab dan sonsangnya adalah matriks identiti.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks di sebelah kiri tanda sama dengan.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Untuk matriks 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matriks songsang ialah \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), jadi persamaan matriks tersebut boleh ditulis semula sebagai masalah pendaraban matriks.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

Darabkan matriks tersebut.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 2+\frac{1}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Lakukan aritmetik.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Ekstrak unsur matriks y dan x.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$

Langkah Menggunakan Penghapusan

Pertimbangkan persamaan pertama. Tambahkan x pada kedua-dua belah.

$$y+x=2$$

Pertimbangkan persamaan kedua. Tolak 3x daripada kedua-dua belah.

$$y-3x=-4$$

Untuk menyelesaikan dengan penghapusan, pekali bagi salah satu daripada pemboleh ubah mestilah sama dalam kedua-dua persamaan supaya pemboleh ubah tersebut akan saling membatalkan apabila satu persamaan ditolak daripada yang satu lagi.

$$y+x=2,y-3x=-4$$

Tolak y-3x=-4 daripada y+x=2 dengan menolak sebutan serupa pada setiap belah tanda sama dengan.

$$y-y+x+3x=2+4$$

Tambahkan y pada -y. Seubtan y dan -y saling membatalkan dan meninggalkan persamaan dengan hanya satu pemboleh ubah yang boleh diselesaikan.

$$x+3x=2+4$$

Tambahkan x pada 3x.

$$4x=2+4$$

Tambahkan 2 pada 4.

$$4x=6$$

Bahagikan kedua-dua belah dengan 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Gantikan \frac{3}{2} dengan x dalam y-3x=-4. Disebabkan persamaan terhasil mengandungi hanya satu pemboleh ubah, anda boleh menyelesaikan terus untuk y.

$$y-3\times \frac{3}{2}=-4$$

Darabkan -3 kali \frac{3}{2}.

$$y-\frac{9}{2}=-4$$

Tambahkan \frac{9}{2} pada kedua-dua belah persamaan.

$$y=\frac{1}{2}$$

Sistem kini diselesaikan.

$$y=\frac{1}{2},x=\frac{3}{2}$$